3. Oefeningen verzamelingen

Meer informatie over verzamelingen

Opdracht 1 Van impliciet naar expliciet

Zet de volgende impliciete specificaties om naar een expliciete specificatie

Nu jij

$$\begin{array}{l}1.A=\{x\mid x\in \mathbb{N}\wedge x\mathrm{mod}2=0\wedge 0<x<10\}\\ 2.B=\{x\mid x\in \mathbb{Z}\wedge -5\le x<3\}\\ 3.C=\{x\mid x\in \mathbb{N}\wedge x^2<20\}\end{array}$$

Uitwerking

$$\begin{array}{l}1.A=\{2,4,6,8\}\\ 2.B=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}\\ 3.C=\{1,2,3,4\}\end{array}$$

---

Opdracht 2 Van expliciet naar impliciet

Zet de volgende expliciete specificaties om naar een impliciete specificatie

Nu jij

$$\begin{array}{l}1.A=\{-2,-1,0,1,2\}\\ 2.B=\{3,6,9,12\}\\ 3.C=\{1,4,9,16,25\}\end{array}$$

Mogelijke uitwerking

\begin{array}{l} 1. \quad A = \{ x \mid x\in \mathbb{Z} \ \wedge -2 \leq x \leq 2 \} \\ 2. \quad B = \{x \mid x\in \mathbb{N} \ \wedge \ x \mod 3 = 0 \wedge 3 \leq x \leq 12 \} \\ 3. \quad C = \{x^2 \mid x\in \mathbb{N} \ \wedge \ 1 \leq x \leq 5\}

\end{array}

---

Opdracht 3 Gelijkheid

Bepaal van de volgende vijf verzamelingen welke gelijk zijn.

Nu jij

$$\begin{array}{l}1.A=\{0,1,2,3,4,5\}\\ 2.B=\{1,3,5\}\\ 3.C=\{0,2,4,5,1,3\}\\ 4.D=\{0,1,2,3,4,5\}\\ 5.E=\{\{0\},\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\}\}\\ 6.F=\{0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0\}\end{array}$$

Antwoord

$A=C=D=F$

Uitleg:

• Verzameling B is niet gelijk aan een andere verzameling omdat verzameling B te weinig elementen heeft om gelijk te kunnen zijn aan een andere verzameling.
• Verzameling C is gelijk aan verzameling A, omdat de volgorde van een verzameling niet uit maakt.
• Verzameling D is hetzelfde als verzameling A en daarmee direct ook gelijk aan verzameling C.
• Verzameling E is een verzameling van verzamelingen. Hierdoor is deze niet gelijk aan een andere verzameling.
• Verzameling F is gelijk aan verzameling A, omdat bij gelijkheid van verzamelingen de multipliciteit van elementen niet uitmaakt.

---

Opdracht 4 Deelverzamelingen

Gegeven is verzameling T . Bepaal van de vijf verzamelingen of deze deelverzamelingen zijn van verzameling T. $T=\{Java,Python,Swift\}$

Nu jij

Bepaal van de volgende verzamelingen of het een deelverzameling is van T

$$\begin{array}{l}1.A=\{Java,Python\}\\ 2.B=\{Kotlin\}\\ 3.C=\{Python,Java\}\\ 4.D=\{Java,Typescript\}\\ 5.E=\varnothing \\ 6.T\end{array}$$

Antwoord

$A,CenE$ Uitleg:

• Alle elementen uit verzameling A zitten ook in verzameling T, dus is A een deelverzameling van T.
• Verzameling B bevat een element die niet in verzameling T zit, dus is B niet een deelverzameling van T.
• Alle elementen uit verzameling C zitten ook in verzameling T, dus is C een deelverzameling van T, ondanks de volgorde.
• Verzameling D bevat één element die niet in verzameling T zit, dus is D niet een deelverzameling van T.
• Verzameling E bevat geen elementen, maar dit betekent dat alle elementen uit E ook in verzameling T zitten, dus is E een deelverzameling van T
  • Opmerking: Een lege verzameling is altijd een deelverzameling van een verzameling.
• Alle elementen van verzameling T zitten ook in verzameling T, dus is T een deelverzameling van T. Een notitie hierbij is dat het geen echte deelverzameling is, doordat $T=T$.

Met tekens:

$$\begin{array}{l}A\subseteq T\\ B⊈T\\ C\subseteq T\\ D⊈T\\ E\subseteq T\end{array}$$

---

Opdracht 5 Operatoren

Gegeven zijn de verzamelingen A, B en het universum U. Gebruik deze verzamelingen om de juiste antwoorden te krijgen uit de operaties.

$$\begin{array}{l}A=\{1,2,3,5,7,9\}\\ B=\{2,3,4,6,8,11\}\\ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}\end{array}$$

Nu jij

Bepaal de uitkomsten van onderstaande operaties.

$$\begin{array}{l}1.A\cup B\\ 2.A\cap B\\ 3.B-A\\ 4.\overline{A}\\ 5.B\cup \overline{A}\\ 6.A\cap \overline{A}\\ 7.U-A\\ 8.A-(A\cap B)\\ 9.\overline{(A\cup B)}\\ 10.A\cup \varnothing \\ 11.A\cap \varnothing \\ 12.\overline{\overline{A}\cap \overline{B}}\end{array}$$

Antwoord

$$\begin{array}{l}\\ 1.\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,11\}\\ 2.\{2,3\}\\ 3.\{4,6,8,11\}\\ 4.\{4,6,8,10,11,12,13\}\\ 5.\{2,3,4,6,8,10,11,12,13\}\\ 6.\varnothing \\ 7.\{4,6,8,10,11,12,13\}\\ 8.\{1,5,7,9\}\\ 9.\{10,12,13\}\\ 10.\{1,2,3,5,7,9\}\\ 11.\varnothing \\ 12.\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,11\}\end{array}$$

---

Volgende stap: Uitleg relaties