5. Stappen waarheidstabellen

Meer informatie over waarheidstabellen

1 Doel

Het doel van een waarheidstabel is om systematisch alle mogelijke uitkomsten van een logische propositie of een combinatie van proposities te analyseren. Dit helpt om te bepalen wanneer een uitspraak waar of onwaar is. Waarheidstabellen worden gebruikt in logica, informatica, wiskunde en in controle structuren in code.

2 Stappenplan

Bij het opstellen van een waarheidstabel kun je de volgende stappen volgen:

1. Bepaal de proposities en operatoren
2. Bepaal het aantal rijen
3. Vul de waarheidswaarden in voor elke propositie
4. Voer stap voor stap de logische bewerkingen uit
5. Analyseer de einduitkomst

Tip

Werk altijd van binnen naar buiten als je met geneste logische operatoren werkt. Eerst $\neg$, dan $\wedge$ en $\vee$, daarna $\to$ en $\leftrightarrow$. Dit is de standaard volgorde van verwerken, net zoals bij sommen $\ast$ en $/$ voor $+$ en $-$ komen.

Casus

Je hebt de propositie:
“Als een gebruiker is ingelogd ($I$) of admin is ($A$), dan krijgt hij toegang ($T$).”
De logische propositie wordt dan:
$(I\vee A)\to T$

2.1 Bepaal de proposities en operatoren

De propositie bestaat uit de volgende componenten:

• Proposities: $I$, $A$, $T$
• Operatoren: $\vee$ (of), $\to$ (implicatie)

We herkennen dus dat er drie variabelen zijn.

Correctieve feedback tijdens de uitvoer

• Zorg dat je goed weet wat elke propositie betekent in de context.
• Gebruik korte, duidelijke symbolen ($I$, $A$, $T$) zodat je overzicht houdt in de tabel.

Tips voor stap 2.1

• Gebruik hoofdletters voor proposities om verwarring te voorkomen.
• Schrijf de logische formule eerst uit vóór je begint aan de tabel.

2.2 Bepaal het aantal rijen

Bij drie proposities zijn er $2^3=8$ mogelijke combinaties. Dus de waarheidstabel krijgt 8 rijen.

$I$	$A$	$T$
true	true	true
true	true	false
true	false	true
true	false	false
false	true	true
false	true	false
false	false	true
false	false	false

2.3 Voer stap voor stap de logische bewerkingen uit

Voeg een kolom toe voor de subexpressie $I\vee A$ en voor de eindexpressie $(I\vee A)\to T$.

$I$	$A$	$T$	$I\vee A$	$(I\vee A)\to T$
true	true	true	true	true
true	true	false	true	false
true	false	true	true	true
true	false	false	true	false
false	true	true	true	true
false	true	false	true	false
false	false	true	false	true
false	false	false	false	true

2.4 Analyseer de einduitkomst

Je ziet nu duidelijk wanneer de hele uitspraak waar is. De implicatie $(I\vee A)\to T$ is alleen false wanneer het linkerdeel $(I\vee A)$ waar is, maar het rechterdeel ($T$) onwaar. In alle andere gevallen is de implicatie waar.

Samenvattend

Waarheidstabellen geven een overzichtelijk en betrouwbaar middel om logische uitspraken te controleren. Door systematisch de mogelijke waarden te evalueren, kun je foutloze conclusies trekken over logische formules.

Tips waarheidstabellen

• Tel het aantal enkelvoudige proposities → dit bepaalt het aantal rijen: $2^n$
• Werk altijd van binnen naar buiten bij geneste expressies
• Oefen met standaardvormen zoals $P\to Q$, $P\wedge Q$, $P\leftrightarrow Q$
• Vul stap voor stap nieuwe kolommen in om overzicht te bewaren
  • Begin altijd met de individuele waarden (zoals $I$ of $A$ in het voorbeeld hierboven).
  • Splits de grote propositie dan op in verschillende onderdelen (zoals $I\vee A$ in het voorbeeld hierboven een eigen kolom heeft gekregen, zodat het makkelijker is om het eindresultaat te bepalen).

---

Volgende stap: Oefeningen waarheidstabellen