1. Uitleg verzamelingen

Wat is een verzameling?

Een verzameling is een groep van elementen. Deze elementen kunnen van elke soort zijn, zoals getallen, letters of objecten. Als er gewerkt wordt met meerdere verzamelingen kan het zijn dat er een universum (U) is gedefinieerd. Alle elementen uit de verzamelingen moeten dan ook binnen dit universum vallen.

Voorbeeld

Als $U=\{\mathrm{0...15}\}$, dan moeten alle elementen van alle verzamelingen in dit universum tussen de 0 en 15 liggen, waarbij 0 en 15 ook nog erbij horen. Als $A=\{1,4,7,12\}$, dan valt deze binnen het universum. Stel $A=\{1,4,7,16\}$. Dan valt deze verzameling buiten het universum.

Een verzameling heeft een aantal notatie regels:

• Verzameling: Een verzameling wordt weergegeven met een hoofdletter, bijvoorbeeld $A$
• Gevulde inhoud: $A=\{1,2,3\}$
• Aanwezigheid van een element in een verzameling: $1\in A$
• Afwezigheid van een element in een verzameling: $4\notin B$
• Een lege verzameling: $\{\}of\varnothing$
• Grootte van een verzameling (gemeten in aantal elementen): $|A|$

Casus

Stel je moet mensen opnemen in een verzameling, $P$, die mee doen bij een evenement. Op het moment heb je de volgende namen opgenomen: Jan, Lisa, Peter en Martijn. Om aan te geven dat Lisa in de verzameling zit kan je het als volgt aangeven: $Lisa\in P$

Hoe zit een verzameling in elkaar?

Een verzameling bestaat, zoals eerder vermeld, uit een groep van unieke elementen. Een dergelijke verzameling kan op verschillende manier worden gespecificeerd:

• Expliciete specificatie: De elementen van de verzameling worden expliciet opgesomd, bijvoorbeeld: $A=\{2,4,6,8,10\}$
• Impliciete specificatie: De verzameling wordt beschreven door een eigenschap waaraan elk element voldoet, bijvoorbeeld: {x | x is een even getal tussen 1 en 10} of $\{x\mid x\in \mathbb{N}\wedge x\mathrm{mod}2=0\wedge 1<x<10\}$

De opbouw kan er ingewikkeld uit zien maar is op te splitsen in een aantal verschillende onderdelen:

• De eerste $x$: Dit is het getal waarover geïtereerd zal worden. Nu is het 0, 1, 2, 3, …, maar als daar $x^2$ had gestaan, zou het 0($0^2$), 1 ($1^2$), 4 ($2^2$), 9 ($3^2$), 16 ($4^2$), … zijn.
• $x\in \mathbb{N}$: Dit geeft aan waar $x$ onderdeel van is, in dit geval de natuurlijke getallen. Als het niet $\mathbb{N}$ maar ${\mathbb{N}}^{+}$ zou zijn geweest, dan was x begonnen vanaf 1 in plaats van 0.
• $\wedge$ : Dit teken geeft aan dat om $x$ toe te voegen aan de verzameling de volgende vergelijking óók moet gelden. In dit geval zijn er nog twee andere voorwaarden die moeten voldoen.
• $x\mathrm{mod}2=0\wedge 1<x<10$ : In dit geval is het als $x$ een even getal is en x tussen 1 en 10 ligt, het getal opgenomen kan worden in de verzameling.

Verder zijn er nog een aantal standaard getal verzamelingen:

Symbool	Naam	Inhoud
$\mathbb{N}$	Natuurlijke getallen	0, 1, 2, 3, 4, …
${\mathbb{N}}^{+}$	Natuurlijke getallen, behalve 0	1, 2, 3, 4, 5, …
$\mathbb{Z}$	Gehele getallen	-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
$\mathbb{Q}$	Rationele getallen	Gehele getallen + breuken
$\mathbb{R}$	Reële getallen	”Alle” getallen, inclusief gehele getallen, breuken, wortels, $\pi$, …

Hoe gebruik je een verzameling?

Verzamelingen worden gebruikt om objecten te groeperen en bewerkingen daarop uit te voeren. Ze zijn nuttig om elementen te bewaren, relaties tussen groepen te onderzoeken en operaties zoals doorsnede en vereniging uit te voeren.

Casus

Stel je voor dat je een verzameling hebt van alle studenten die zich hebben ingeschreven voor een sportevenement en een verzameling van alle studenten die zich hebben ingeschreven voor een muziekfestival. Μet een Insection (Doorsnede) zou je kunnen bepalen welke personen voorkomen in beide verzamelingen.

Mogelijke uitwerking van de casus In dit voorbeeld wordt gebruikt gemaakt van een Hashset.

// Definieer de twee verzamelingen
var sportEvenement = new HashSet<string> { "Anna", "Bob", "Clara" };
var muziekFestival = new HashSet<string> { "Bob", "Clara", "David" };
 
// Bepaal de doorsnede
var ingeschrevenBeide = sportEvenement.Intersect(muziekFestival); // ingeschrevenBeide = { "Bob", "Clara" }

Eigenschappen en operaties

Een verzameling bevat verder ook nog een aantal eigenschappen en operaties

Gelijkheid

Met gelijkheid wordt aangegeven dat twee verzamelingen exact dezelfde waarde van elementen bevatten. Het aantal voorkomens van een element (de multipliciteit) en de volgorde van de elementen zijn hierbij niet van belang.. Hiervan is de notitie $A=B$ Dit voorbeeld geeft aan dat elk element in A ook voorkomt in B en vice versa. Hierbij kan $A=\{1,2,3\}$ zijn $B=\{3,1,2\}$. De volgorde en het aantal voorkomens van elementen maakt niet uit voor de gelijkheid van twee verzamelingen.

Deelverzameling

Een verzameling is een deelverzameling als alle elementen van de linker verzameling ook in de rechter verzameling voorkomen, maar niet alle elementen van de rechter verzameling voorkomen in de linker verzameling. Hiervan is de notitie $A\subseteq B$. Dit voorbeeld geeft aan dat dus alle elementen van A voorkomen in B, waarbij $A=\{1,3\}$ en $B=\{0,1,2,3,4\}$.

Er bestaan ook echte deelverzamelingen. Dit zijn deelverzamelingen waarbij de deelverzameling niet gelijk is aan de hoofdverzameling ($A\subseteq B$ maar $A\ne B$).

Vereniging

Een vereniging is wanneer alle elementen van zowel de linker als de rechter verzameling samen worden gevoegd in een verzameling, waarbij de waarden uniek blijven. Hiervan is de notitie $C=A\cup B$ Als je voor $A=\{1,2,3\}$ neemt en voor $B=\{3,4,5\}$ neemt, zou dit resulteren in $C=\{1,2,3,4,5\}$. Hierbij valt er dus een $3$ weg uit de vereniging. Voor een visuele weergave zie Figuur 1.

Figuur 1: Visuele weergave van een vereniging

Doorsnede

Een doorsnede van twee verzamelingen is wanneer alle dubbele elementen van twee verzamelingen worden samengevoegd in één verzameling, waarbij elk element één keer voor zal komen. Hiervan is de notitie $C=A\cap B$ Als je voor $A=\{1,2,3\}$ neemt en voor $B=\{2,3,4\}$ neemt, zou dit resulteren in $C=\{2,3\}$. Voor een visuele weergave zie Figuur 2.

Figuur 2: Visuele weergave van een doorsnede

Verschil

Een verschil van twee verzamelingen is wanneer van de linker verzameling alle elementen worden verwijderd die ook in de rechter verzameling staan. Hiervan is de notitie $C=A-B$ Als je voor $A=\{1,2,3\}$ neemt en voor $B=\{3,4,5\}$ neemt, zou dit resulteren in $C=\{1,2\}$. Voor een visuele weergave zie Figuur 3.

Figuur 3: Visuele weergave van een verschil

Complement

Het complement werkt net iets anders. Hierbij komt het universum als verzameling in de vergelijking. Het resultaat van een complement is alle elementen van het universum, maar zonder de gegeven verzameling. Hiervan is de notatie $C=\overline{A}ofC=U-A$ Als je voor $U=\{0,1,2,3,4,5\}$ (ofwel: $\{\mathrm{0...5}\}$) en $A=\{1,2\}$ neemt, dan zou dit resulteren in $C=\{0,3,4,5\}$. Voor een visuele weergave zie Figuur 4.

Figuur 4: Visuele weergave van een complement

Disjunct

Als twee verzamelingen geen overlap hebben, dan zijn verzameling A en B disjunct. Hiervan is de notatie $A\cap B=\varnothing of|A\cap B|=0$ Dit kan het geval zijn wanneer $A=\{0,1,2\}$ en $B=\{3,4,5\}$. Voor een visuele weergave zie Figuur 5

Figuur 5: Visuele weergave van een disjunct

---

Volgende stap: Stappen verzamelingen