4. Stappen omzetten vanuit decimaal

1 Doel

Soms willen we een getal vanuit het decimale talstelsel omzetten naar een ander talstelsel.

2 Stappenplan

1. Bepaal de hoogste macht
2. Bepaal voor deze macht de vermenigvuldigingsfactor
3. Bepaal de rest na aftrek van de hoogste macht
4. Herhaal dit voor alle kleinere machten
5. Verwerk de machten en vermenigvuldigingsfactoren

2.1 Bepaal de hoogste macht

Allereerst kijken we wat de hoogste macht van het grondtal is, wat nog in het decimale getal past.

• Voorbeeld 1 : 329 omzetten naar het 5-tallig stelsel
  • De grootste macht van 5 welke nog in 329 past, is $5^3=125$
• Voorbeeld 2 : 114 omzetten naar het 3-tallig stelsel
  • De grootste macht van 3 welke nog in 114 past, is $3^4=81$

2.2 Bepaal voor deze macht de vermenigvuldigingsfactor

Vervolgens bepalen we hoeveel keer een macht in het getal past, ofwel we bepalen de vermenigvuldigingsfactor.

• Voorbeeld 1 : 329 omzetten naar het 5-tallig stelsel
  • In stap 1 vonden we 125 als grootste macht
  • Deze past twee keer in 329 :
    $2\cdot 125=250$
  • De factor is 2
• Voorbeeld 2 : 114 omzetten naar het 3-tallig stelsel
  • In stap 1 vonden we 81 als grootste macht
  • Deze past één keer in 114 :
    $1\cdot 81=81$
  • De factor is 1

2.3 Bepaal de rest na aftrek van de hoogste macht

• Voorbeeld 1 : 329 omzetten naar het 5-tallig stelsel
  • 125 paste twee keer in 329, dus rest is :
    $329-2\cdot 125=329-250=79$
• Voorbeeld 2 : 114 omzetten naar het 3-tallig stelsel
  • 81 paste één keer in 114, dus de rest is:
    $114-1\cdot 81=110-81=33$

2.4 Herhaal dit voor alle kleinere machten

Vervolgens gaan we dit herhalen voor alle volgende (kleinere machten), tot en met de nulde macht.

• Voorbeeld 1 : 329 omzetten naar het 5-tallig stelsel
  • We hadden een rest van 79
  • We hadden $5^3$ verwerkt
  • De eerstvolgende kleinere macht is $5^2=25$
    • Deze past drie keer in 79
    • De factor is 3
    • De rest is $79-3\cdot 25=79-75=4$
  • De eerstvolgende kleinere macht is $5^1=5$
    • Deze past nul keer in 4
    • De factor is 0
    • De rest is $4-0\cdot 5=4$
  • De eerstvolgende kleinere macht is $5^0=1$
    • Deze past vier keer in 4
    • De factor is 4
    • De rest is $4-4\cdot 1=0$
  • We zijn aangekomen bij de nulde macht en kunnen stoppen
• Voorbeeld 2 : 114 omzetten naar het 3-tallig stelsel
  • We hadden een rest van 33
  • We hadden $3^4$ verwerkt
  • De eerstvolgende kleinere macht is $3^3=27$
    • Deze past één keer in 33
    • De factor is 1
    • De rest is $33-1\cdot 27=6$
  • De eerstvolgende kleinere macht is $3^2=9$
    • Deze past nul keer in 6
    • De factor is 0
    • De rest is $6-0\cdot 9=0$
  • De eerstvolgende kleinere macht is $3^1=3$
    • Deze past twee keer in 6
    • De factor is 2
    • De rest is $6-2\cdot 3=0$
  • De eerstvolgende kleinere macht is $3^0=1$
    • Deze past nul keer in 0
    • De factor is 0
    • De rest is $0-0\cdot 1=0$
  • We zijn aangekomen bij de nulde macht en kunnen stoppen

2.5 Verwerk de machten en vermenigvuldigingsfactoren

Allereerst schrijven we de vermenigvuldigingsfactoren en machten uit. Hierna kunnen we het getal opschrijven in het andere talstelsel.

• Voorbeeld 1 : 329 omzetten naar het 5-tallig stelsel
  • Als we de factoren en machten uitschrijven dan krijgen we:
    $329=2\cdot 5^3+3\cdot 5^2+0\cdot 5^1+4\cdot 5^0$
    Hieruit kunnen we concluderen dat:
    $329_{10}=2304_5$
• Voorbeeld 2 : 114 omzetten naar het 3-tallig stelsel
  • Als we de factoren en machten uitschrijven dan krijgen we:
    $114=1\cdot 3^4+1\cdot 3^3+0\cdot 3^2+2\cdot 3^1+0\cdot 3^0$
    Hieruit kunnen we concluderen dat:
    $114_{10}=11020_3$

3 Samengevat

• Voorbeeld 1 : 329 omzetten naar het 5-tallig stelsel
  $\begin{array}{ccccccccc}329& =& 2\cdot 125& +& 79& & & & \\ & =& 2\cdot 125& +& 3\cdot 25& +& 4& & \\ & =& 2\cdot 125& +& 3\cdot 25& +& 0\cdot 5& +& 4\\ & =& 2\cdot 125& +& 3\cdot 25& +& 0\cdot 5& +& 4\cdot 1\\ & =& 2\cdot 5^3& +& 3\cdot 5^2& +& 0\cdot 5^1& +& 4\cdot 5^0\\ & =& 2304_5& & & & & & \end{array}$
• Voorbeeld 2 : 114 omzetten naar het 3-tallig stelsel
  $\begin{array}{ccccccccccc}114& =& 1\cdot 81& +& 33& & & & & & \\ & =& 1\cdot 81& +& 1\cdot 27& +& 6& & & & \\ & =& 1\cdot 81& +& 1\cdot 27& +& 0\cdot 9& +& 6& +& 0\\ & =& 1\cdot 81& +& 1\cdot 27& +& 0\cdot 9& +& 2\cdot 3& +& 0\\ & =& 1\cdot 81& +& 1\cdot 27& +& 0\cdot 9& +& 2\cdot 3& +& 0\cdot 1\\ & =& 1\cdot 3^4& +& 1\cdot 3^3& +& 0\cdot 3^2& +& 1\cdot 3^1& +& 0\cdot 3^0\\ & =& 11020_3& & & & & & & & \end{array}$

---

Volgende stap: Oefeningen omzetten vanuit decimaal