4. Uitleg waarheidstabellen

Wat is een waarheidstabel?

Een waarheidstabel is een tabel die de waarheidswaarden van proposities weergeeft voor elke mogelijke combinatie van invoerwaarden. Dit helpt bij het visualiseren van hoe logische operatoren (zoals $\neg ,\wedge ,\vee ,\to ,\leftrightarrow$) de uitkomst beïnvloeden. In waarheidstabellen moet een true of false waarde worden aangegeven. Hiervoor kun je ook alternatieve gebruiken zoals:

• T en F
• waar en onwaar
• 1 en 0
• ja en nee

Casus

Stel dat je een eenvoudige propositie hebt: “Als het regent ($P$), dan wordt de grond nat ($Q$)“. Met een waarheidstabel kun je alle mogelijke waarheidswaarden van $P$ en $Q$ in kaart brengen en de implicatie $P\to Q$ analyseren.

P	Q	P → Q
true	true	true
true	false	false
false	true	true
false	false	true

Zoals te zien is, is dat als $P=false$, dan wordt de propositie $P\to Q$ altijd true. Dit komt doordat er niet gespecificeerd is wat er zou moeten gebeuren als het niet regent. Bij logica wordt dan standaard de propositie op true gezet als $P$ false is.

Hoe zit waarheidstabel in elkaar?

Een waarheidstabel bestaat uit de volgende onderdelen:

• Eerste kolommen: De eerste kolommen bevatten enkelvoudige proposities (invoerwaarden).
• Opvolgende kolommen: De opvolgende kolommen kunnen deelproposities bevatten.
• Laatste kolom: De laatste kolom bevat de hele propositie.
• Rijen voor combinaties van waarheidswaarden: Deze geven alle mogelijke combinaties van waarheidswaarden voor de enkelvoudige proposities.

Voorbeeld

Stel je hebt de vergelijking $(P\vee Q)\to Q$. Hier zijn twee proposities aanwezig: $P\vee Q$ en $(UitkomstvanP\vee Q)\to Q$. In een tabel vorm zou dit op de volgende volgorde opgenomen kunnen worden.

P	Q	P ∨ Q	(P ∨ Q) → Q
true	true	true	true
true	false	true	false
false	true	true	true
false	false	false	true

Hierbij wordt de tussenstap $P\vee Q$ apart opgenomen, zodat het makkelijker wordt om de uitkomst te bepalen van de propositie.

Tip

Om het makkelijker te maken om deze tabellen in te vullen en te lezen, kan je de tussenstappen definieren als aparte proposities, zoals hieronder weergegeven:

$(P\vee Q)\to Q$

P	Q	P ∨ Q = A	A → Q
true	true	true	true
true	false	true	false
false	true	true	true
false	false	false	true

Je kan ook van te voren de tussenstappen al definieren, zoals:

$(P\vee Q)\to Q$ $A=P\vee Q$

P	Q	A	A → Q
true	true	true	true
true	false	true	false
false	true	true	true
false	false	false	true

Hoe gebruik je een waarheidstabel?

Waarheidstabellen worden gebruikt om complexe logische proposities op te lossen door alle mogelijke waarheidswaarden systematisch te onderzoeken. Dit is vooral nuttig bij het testen van logische circuits, voorwaardelijke statements in programmeercode of bij het analyseren van logische stellingen.

Casus

Stel je hebt een programma waarin gebruikers toegang krijgen tot een systeem op basis van twee voorwaarden:

• De gebruiker is ingelogd ($I$)
• De gebruiker is admin. ($A$)

De propositie die hierbij zou kunnen passen is $Toegang=I\wedge A$

Mogelijke uitwerking van de casus

Ingelogd	Admin	Toegang
F	F	F
F	T	F
T	F	F
T	T	T

Uit deze tabel is dus af te leiden dat een gebruiker alleen toegang krijgt wanneer de gebruiker is ingelogd en admin is.

---

Volgende stap: Stappen waarheidstabellen