1. Uitleg propositie logica

Wat is een propositie?

Een propositie is een uitspraak die of waar of onwaar is. Een propositie is een basiscomponent in logica en vormt de kern van waarheidswaarden. Voorbeelden van proposities zijn:

• “Zutphen ligt in Frankrijk” (Onwaar)
• “5 > 6” (Onwaar)
• “Een week heeft zeven dagen” (Waar)

Een propositie is dus altijd een uitspraak die een concrete waarheidswaarde kan aannemen, namelijk ‘waar’ of ‘onwaar’.

Casus

Stel dat je in een programmeertaal een functie hebt die controleert of een gebruiker is ingelogd. De uitkomst van die functie is een propositie: ofwel de gebruiker is ingelogd (waar) of niet (onwaar).

Hoe zit een propositie in elkaar?

Een propositie kan opgedeeld worden in drie verschillende soorten proposities:

• Enkelvoudige proposities: “Het regent” of “Het waait”
• Ontkenningen van proposities: “Het regent niet” of “Het waait niet”
• Samengestelde proposities: Dit zijn proposities waarin andere proposities zijn opgenomen, bijvoorbeeld: “Het regent of het waait” of “Het regent en het waait niet”

Een samengestelde propositie bestaat uit verschillende onderdelen:

• Logische operator: Er moet een logische operator aanwezig zijn om te bepalen hoe de twee waarden vergeleken worden (in code zijn logische operatoren ook aanwezig).
• Twee proposities: Er moeten minimaal twee waarden zijn die vergeleken worden tegen elkaar.

Waarde1 Logische_Operator Waarde2
Bijvoorbeeld:
'Het regent' -> 'Het waait'

Met proposities zijn er een aantal standaard tekens die gebruikt worden om de logica weer te geven. Deze zijn als volgt:

Naam	Teken	Betekenis
Negatie	$\neg$	Keert de waarheidswaarde om
Conjunctie	$\wedge$	En-operator, beide uitspraken moeten waar zijn.
Disjunctie	$\vee$	Of-operator, minstens één uitspraak moet waar zijn.
Implicatie	$\to$	Als… dan…-constructie.
Equivalentie	$\leftrightarrow$	Beide uitspraken hebben dezelfde waarheidswaarde.
De volgorde van de tabel is ook de volgorde hoe deze in een propositie moeten worden verwerkt (zoals met $+,-,\ast en/$ bij sommen)

Let op

Bij een implicatie wordt alleen gespecificeerd als a gebeurt. Er wordt geen uitspraak gedaan als a niet gebeurt. Als bij een implicatie de linker helft van de propositie niet waar is, dan wordt automatisch de uitkomst van de propositie waar.

Bijvoorbeeld: Stel je zegt: “Als ik een voldoende haal, dan trakteer ik op taart.”

Nu zijn er vier scenario’s:

1. Je haalt een voldoende én je trakteert → belofte nagekomen (waar).
2. Je haalt een voldoende, maar je trakteert niet → belofte verbroken (onwaar).
3. Je haalt géén voldoende, maar je trakteert toch → geen belofte gedaan, dus oké (waar).
4. Je haalt géén voldoende en trakteert ook niet → ook prima, je had niets beloofd (waar).

Uit deze scenario’s is het volgende af te leiden:

Als de linker propositie niet waar is (“Je haalt géén voldoende”), dan maakt het niet uit wat er aan de rechterkant gebeurt (“Je trakteert” of “je trakteert niet”).

Je hebt immers alleen iets beloofd als je een voldoende zou halen. Omdat je die niet gehaald hebt, kun je je belofte niet breken – en daarom geldt: De hele uitspraak is dan automatisch waar.

Je zegt eigenlijk: “Alleen als ik een voldoende haal, heb ik iets beloofd.”
Geen voldoende gehaald? Dan was er geen belofte → geen probleem → de uitspraak klopt dus nog steeds.

Voorbeeld

$$\begin{array}{l}A=true\\ B=false\\ \\ \neg A=false\\ \text{A is true, dus wordt dit de omgekeerde waarde}\\ \\ A\wedge B=false\\ \text{Er wordt gevraagd om een "en" operatie. B is false, waardoor de propositie ook false is}\\ \\ A\vee B=true\\ \text{Er wordt gevraagd om een "of" operatie. A is true, waardoor de propositie ook true is}\\ \\ A\to B=false\\ \text{Hier wordt gesteld dat als A true is, B ook true moet zijn, wat niet het geval is, dus is het false.}\\ \\ A\leftrightarrow B=false\\ \text{Hier wordt gesteld dat A en B dezelfde waarde moeten hebben om waar te zijn.}\end{array}$$

Codevoorbeeld

bool p = true;
bool q = false;
 
Console.WriteLine(!p);  // Negatie: false
Console.WriteLine(p && q);  // Conjunctie: false
Console.WriteLine(p || q);  // Disjunctie: true
Console.WriteLine(p == q);  // Equivalentie: false

Hoe gebruik je een propositie?

Proposities kunnen gebruikt worden in zowel berekeningen waarbij logische berekeningen gedaan moeten worden, als bij programmeertalen zoals C#. Proposities worden vaak gebruikt in controle-structuren, zoals if-else, while, for en switch.

Casus

Stel dat je een programma maakt dat bepaalt of een gebruiker toegang heeft tot een specifieke sectie van een website. De voorwaarden voor toegang zijn:

• De gebruiker is ingelogd.
• De gebruiker heeft admin-rechten.
• Het account is niet verlopen.

Mogelijke uitwerking van de casus

bool isLoggedIn = true;
bool isAdmin = false;
bool accountNotExpired = true;
 
bool hasAccess = isLoggedIn && isAdmin && accountNotExpired;
Console.WriteLine("Toegang: " + hasAccess);

flowchart TD
    A[Gebruiker ingelogd?] -->|Ja| B[Admin rechten?]
    A -->|Nee| C[Geen toegang]
    B -->|Ja| D[Account niet verlopen?]
    B -->|Nee| C
    D -->|Ja| E[Toegang verleend]
    D -->|Nee| C

Propositie logica concepten

Bij propositie logica zijn er een standaard aantal concepten die informatie kunnen geven over de uitkomst van een propositie

• Tautologie: Een tautologie is een propositie die altijd waar is, zoals: “De deur is open of de deur is niet open” of $P\vee \neg P$ (P of het omgekeerde P)
• Contradictie: Een contradictie is een propositie die altijd onwaar is, zoals “Het regent en het regent niet” en $P\wedge \neg P$ (P en het omgekeerde van P)
• Contingentie: Elke prospositie die niet een tautologie of contradictie is, is automatisch een contingentie.

---

Volgende stap: Stappen propositie logica